Sistema Binario y Hexadecimal

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten generar cualquier dato numérico.

A lo largo de la historia humana han surgido diversos sistemas de numeración, por ejemplo, el Sistema de Numeración Romano o el Sistema de Numeración Maya. En la actualidad usamos varios sistemas de numeración según sea el contexto, así, en nuestra vida diaria usamos el Sistema de Numeración Decimal.

Sistema de Numeración Decimal

El Sistema de Numeración Decimal se compone de 10 símbolos.

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

La combinación de los simbolos anteriores genera cualquier otro número, y la posición de cada símbolo (dígito) está asociado a un valor designado por la potencia de la base 10. Es decir, dependiendo de la posición cada dígito ocupa un valor ya sea como unidad, decena, centena, millar, etc.

Por ejemplo, el número 742 está formado por 7 centenas, 4 decenas y 2 unidades.

$$7 * 10^2 + 4 * 10^1 + 2 * 10^0 = 742$$

Sistema de Numeración Binario

El Sistema de Numeración Binario ocupa solo dos símbolos.

[0, 1]

Este sistema es usado principalmente por las computadoras, ya que estas solo pueden entender y variar entre dos estados, 0 y 1 ó Encendido y Apagado ó Verdadero y Falso.

Con la combinación de solo 1's y 0's se puede representar cualquier número, y en el caso de las computadores darle más interpretaciones como posiciones en memoria, letras u otros caracteres, colores, etc.

Al igual que el sistema de Numeración Decimal, la posición de cada dígito está asociado a un valor designado por la potencia de la base 2.

Por ejemplo el número 10101 se puede leer (en nuestro sistema decimal) mediante la siguiente expresión:

$$1 * 2^4 + 0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2 ^0 = 21$$

Cuando comparamos dos número en diferente base númerica se debe poner como subíndice la base en la que está descrito cada número. Usando el ejemplo anterior.

$$10101_2 = 21_{10}$$

En otras palabras el número 10101 en base 2 es igual a 21 en base 10.

Conversión de Base Decimal a Base Binaria

Para convertir un número de base decimal a base binaria el procedimiento es muy sencillo, basta con hacer múltiples divisiones usando la base como divisor (en este caso la base 2) del número original y sucesivamente a cada cociente resultante hasta obtener un 0 y los residuos los colocamos en orden inverso al que fueron obtenidos.

Ejemplo, convirtamos el número 34 en base decimal a base binaria.

34 / 2 = 17    Residuo = 0
17 / 2 =  8    Residuo = 1
 8 / 2 =  4    Resuduo = 0
 4 / 2 =  2    Residuo = 0
 2 / 2 =  1    Residuo = 0
 1 / 2 =  0    Residuo = 1

Tomando los residuos en el orden inverso al que se fueron obteniendo formamos el número 100010 en base binaria. Así el número 34 en base decimal es igual al número 100010 en base binaria.

$$34_{10} = 100010_2$$

Conversión de Base Binaria a Base Decimal

Como se mencionaba anteriormente, la posición de cada dígito de un número binario esta asociado a un valor designado por la potencia de la base 2.

Retomando el ejemplo anterior, si deseamos convertir el número 100010 en base binaria a base decimal basta con expresarlo desarrollando la expresión que nos indica el valor de cada dígito según sea su posición. Veámoslo.

$$1 * 2^5 + 0 * 2^4 + 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 34$$

$$100010_2 = 34_{10}$$

Sistema de Numeración Hexadecimal

Al igual de los dos sistemas de numeración anteriores, es un sistema de numeración posicional, es decir, su valor depende de la posición de cada uno de sus elementos que tienen como base el 16. Su uso está igualmente muy relacionado en el mundo de la computación.

El Sistema de Numeración Hexadecimal necesita de 16 símbolos para poder representar cualquier número.

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F]

Dónde, 

A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15

Como se observa se usan los dígitos del 0 al 9 y se incluyen las primeras 6 letras del abecedario, donde cada letra representa tiene un valor asignado.

Conversión de Base Decimal a Base Hexadecimal

Para convertir un número de base decimal a base hexadecimal se sigue el mismo principio realizar múltiples divisiones usando la base como divisor (en este caso la base 16) del número original y sucesivamente a cada cociente resultante hasta obtener un 0 y los residuos los colocamos en orden inverso al que fueron obtenidos.

Ejemplo, convirtamos el número 15242 en base decimal a base binaria.

15242 / 16 = 952    Residuo = 10
  952 / 16 =  59    Residuo =  8
   59 / 16 =   3    Residuo = 11
    3 / 16 =   0    Residuo =  3

Tomando los residuos en el orden inverso al que se fueron obteniendo formamos el número 3B8A (B = 11 y A = 10) en base hexadecimal. Así el número 15242 en base decimal es igual al número 3B8A en base hexadecimal.

$$15242_{10} = 3B8A_{16}$$

Conversión de Base Hexadecimal a Base Decimal

Al igual que el sistemas anteriores, la posición de cada dígito de un número hexadecimal esta asociado a un valor designado por la potencia de la base 16.

Retomando el ejemplo anterior, si deseamos convertir el número 3B8A en base hexadecimal a base decimal basta con expresarlo desarrollando la expresión que nos indica el valor de cada dígito según sea su posición. Veámoslo.

$$3 * 16^3 + B * 16^2 + 8 *16^1 + A * 16 ^0 = 3 * 4096 + 11 * 256 + 8 * 16 + 10 * 1$$

y,

$$3 * 4096 + 11 * 256 + 8 * 16 + 10 * 1 = 15242$$

Asi,

$$3B8A_{16} = 15242_{10}$$